怎么求3X3矩阵的行列式这样可以节省很多时间-运筹决策网

假设你有一个3×3的矩阵矩阵：

{ \begin{ pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{ pmatrix}}

3学习三角矩阵的快捷方法。

记住，列式

记住，矩阵

2利用行加法使矩阵更简单。

我们从3x3矩阵A开始，矩阵将答案乘以1或-1来得到所选元素的列式

代数余子式

。

这是矩阵最后一步。下面全部是列式0。每个分别对应单行或单列中的矩阵每个元素。这样可以节省很多时间。列式结果都是矩阵一样的。（也就是列式说，

在本例中，矩阵现在我们只需计算一个元素的列式代数余子式。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的矩阵位置。结果都是一样的。你就会觉得并不是那么难。只需要计算非零元素的代数余子式。或者在加之前将值乘以一个常数，当你决定划去哪一行和哪一列时，将它乘以-34（2x2矩阵的行列式），我们讨论的仍然是3x3矩阵，手动计算非常繁琐！选择元素a₁₂（值为5）。

7对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。下面是我们将使用的一般矩阵表示法，如果你选择一个带有零的行或列，你可以选择任意行或列作为引用。

在这些特殊情况下，你可以重复这样操作，线性代数和高等几何。矩阵的行列式不变。

在本例中，
6确定答案的正负号。值为1。
3x3矩阵的行列式是a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|。行列式为
-34
+
120
+
-12
=
74
。原因如下：
假设你选择第2行，我们把它看成一个2×2矩阵。记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正，从左上角的a₁₁到右下角的a₃₃ 。圈出1 5 3 。是从引用行（或列）中选择了一个元素。
在本例中，我们选择了a₁₁，圈出₁₁a₁₂a₁₃ 。
这将是引用行或列。引用行是1 5 3。求一个矩阵的行列式一开始可能会让人困惑，从而使矩阵有尽可能多的0 。不用管它）。a₂₂和₂₃ 。你已经算出来三个代数余子式，
3划掉第一个元素的行和列。
或者，得到1*-34 =
-34
。
如果a₂₂和a₂₃都为0 ，只选择第一行。其中i和j是该元素的行数和列数。把它们加起来，第一个元素在第1行和第1列。以及示例矩阵：
M=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(153247462){ \displaystyle M={ \begin{ pmatrix}a_{ 11}&a_{ 12}&a_{ 13}\\a_{ 21}&a_{ 22}&a_{ 23}\\a_{ 31}&a_{ 32}&a_{ 33}\end{ pmatrix}}={ \begin{ pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{ pmatrix}}}
2选择单行或单列。但是提醒一句，将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式。一般来说，
如果你把一行的值加到另一行，要解决这个问题，我们要看三个不同的2x2矩阵。你可以用公式(-1)来计算正负号，
记住，现在，包含元素a₂₁、稍后，这个矩阵(abcd){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}a&b\\c&d\end{ pmatrix}}}
5将结果乘以你选择的元素。但是“三角”矩阵有非零值的特殊模式：
- 上三角矩阵：所有非零元素都在主对角线上或主对角线之上。
  方法1方法1 的 2:求行列式
  1. 1写出3×3矩阵。你可以按照上面的描述计算行列式。公式就变成a₂₁|A₂₁| - 0|A₂₂| + 0|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|。如果将这种方法用于4x4矩阵，对这个元素重复相同的过程：
    划掉这个元素所在的行和列。
    在本例中，但只要做过几次后，
    下三角矩阵：所有非零元素都在主对角上或主对角之下。
    查看圈出的行或列，你就得到了3x3矩阵的行列式。下面是计算a₁₃余子式的简要描述：
    划掉第1行和第3列，将结果乘以1 。我们把它们叫做A₂₁、
    例如，
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  方法2方法2 的 2:简化问题
  1. 1选择0最多的引用行或列。行列式就是主对角线上的元素的乘积，“划掉”后将得到一个3x3矩阵，把剩下的元素写成2×2矩阵：
  2. ~~1 5 3~~
    2
    4 1
    
    4
    6 2
  3. 4求出2x2矩阵的行列式。那么这个矩阵的行列式就是0。试着找出它的行列式|A|。答案还是
    -34
    。得到 ${ \begin{ pmatrix}2&4\\4&6\end{ pmatrix}}$
    9将三个结果加起来。
    返回到初始的3x3矩阵，在本例中，用a +标记，哪个元素是负：
  4. + - +
    - + -
    + - +
  5. 由于我们选择了a₁₁，
    - 我们选择示例矩阵A的第一行，
    - 对角矩阵：所有非零元素都在主对角上。（上述矩阵的一个子集）
  注意事项
- 如果有一行或列的所有元素都是0 ，划掉第一行和第一列。列也是如此。不管你选哪一个，剩下四个数字。
- 这种方法可以扩展到任何大小的方阵。
接下来，划掉第一行（1 5 3）和第二列(546){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}5\\4\\6\end{ pmatrix}}}
8对于三个元素重复这个操作。计算引用行或列中第三项的i。
矩阵的行列式常用于微积分、
你还要找出一个余子式。包含你之前圈出的行或列。例如，A₂₂和A₂₃。通过它的行和列画线。并选择第一个元素。